Дифференцированные уравнения

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как размерность k = размерность y(t) : размерность g(t) размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?) Постоянными времени T 1 ,...,T n имеют размерность времени.

Вторая форма записи . Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1): = = (2) 2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t): y(t)= = =W 1 (s)+W 2 (s)+...+W n (s) Здесь W 1 (s),W 2 (s),...,W n (s) - передаточные функции. При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну. 2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции: w(t)= 2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный j w . Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование W(j)= Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде: W(j w )=U( w )+jV( w ) где U( w ) и V( w ) - вещественная и мнимая части. W(j w )=A( w ) где A( w ) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной, j ( w ) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной. Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты.

Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции: A( w )= ½ W(j w ) ½ АЧХ строят для всео диапазона частот - w + , т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции: j ( w ) =argW(j w ) 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ 4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k 4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a o y(t)=b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a o =2 b o =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a o : y(t)= y(t)=kg(t) (2), где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для идеального звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=kG(s) W(s)=k (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда h(t)=k1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)= d (t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2 1(t) w(t)=2 d (t) Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2. 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)=k W(j w )=k (7) W(j w )=U( w )+jV( w ) U( w )=k V( w )=0 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )=k (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=0 (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lgk 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 A( w )=2 j ( w )=0 L( w )=20lg2 U( w )=2 V( w )=0 Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности.

Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов. 4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a o y(t)=b o g(tt ) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a o =2 b o =4 t =0,1с Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a o : y(t)= t ) y(t)=kg(tt ) (2), где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= y(t)=kg(tt ) (3) 2. Получим передаточную функцию для идеального звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(tt )=G(s)e - t s По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=kG(s) e - t s W(s)= ke - t s (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда h(t)=y(t)=k g(tt )=k1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)= d (tt ) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2 1(tt ) w(t)=2 d (tt ) Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t =0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2. 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)=k e - t s W(j w )=k e -j w t =k(cos t w -jsin t w ) (7) W(j w )=U( w )+jV( w ) U( w )=k cos t w V( w )=-ksin t w 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )=k (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )= t w (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lgk 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 A( w )=2 j ( w )=0,1 w L( w )=20lg2 U( w )=2cos0,1 w V( w )=-2sin0,1 w Вывод: 4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 1 a o y(t) =b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 1 =1,24 a o =2 b o =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: T 1 (2), где k= T 1 = Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: (T 1 p+1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T 1 sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=k 1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= e 1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T 1 =0.62 h(t)=2 1(t) w(t)=3.2e 1(t) Переходная функция представляет собой экспоненту.

Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) W(j w )=U( w )+jV( w )= U( w )= V( w )= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=arctgk - arctg j ( w )=-arctgT 1 (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T 1 =0.62 A( w )= j ( w )=arctg0.62 w L( w )=20lg U( w )= V( w )= 4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 1 a o y(t) =b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 1 =1,24 a o =2 b o =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: T (2), где k= T= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: (T p-1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T sY(s)-Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=k 1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= e 1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T =0.62 h(t)=2 1(t) w(t)=3.2e 1(t) Переходная функция представляет собой экспоненту.

Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) W(j w )= w )+jV( w ) U( w )= V( w )= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=arctgk - arctg j ( w )=-arctg(-T w ) (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T =0.62 A( w )= j ( w )=-arctg(-0.62 w ) L( w )=20lg U( w )= V( w )= 4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 2 1 a o y(t) =b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 2 =0,588 a 1 =50,4 a o =120 b o =312 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: 1 (2), где k= T 1 = 2 2 = Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T 1 >2T 2 ), то оно является апериодическим 2-го порядка.

Проверим это для нашего уравнения: T 1 =0,42 2T 2 =0,14 0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: ( 2 +T 1 p+1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) 2 Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: s 2 Y(s)+T 1 sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) , где T 3,4 = Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k 1(t) = =k 1(t) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1= Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= = (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) Выделим вещественную и мнимую части : W(j w ) = U( w )= V( w )= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=................ j ( w )=............... (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=................... 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 2 1 a o y(t) =b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 2 =0,588 a 1 =0,504 a o =12 b o =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: 1 (2), где k= T 1 = 2 2 = Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T 1 2 ), то оно является колебательным.

Проверим это для нашего уравнения: T 1 =0,042 2T 2 =0,14 0,042 Представим данное уравнение в следующем виде: пусть T 2 =T, Тогда уравнение (2): Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0 x Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: ( 2 +2 x Tp+1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) 2 Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: s 2 Y(s)+2 x T sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Заменим в этом выражении H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k = =k 1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) Выделим вещественную и мнимую части : W(j w )= U( w )= V( w ) 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=argk - arg(2 x Tj w - T 2 w 2 +1)= - arctg j ( w )= - arctg (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 2 1 a o y(t) =b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 2 =0,588 a 1 =0,504 a o =12 b o =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: 1 (2), где k= T 1 = 2 2 = Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T 1 2 ), то оно является колебательным.

Проверим это для нашего уравнения: T 1 =0,042 2T 2 =0,14 0,042 Представим данное уравнение в следующем виде: пусть T 2 =T, Тогда уравнение (2): Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0 x Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: ( 2 - 2 x Tp+1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) 2 Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: s 2 Y(s) - 2 x T sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Заменим в этом выражении H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k = =k 1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) Выделим вещественную и мнимую части : W(j w )= U( w )= V( w ) 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=argk - arg(1 - 2 x Tj w - T 2 w 2 )= - arctg j ( w )= - arctg (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 2 a o y(t) =b o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 2 =0,0588 a o =12 b o =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: (2), где k= T 2 = Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x =0. Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: (T 2 p 2 +1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) 2 Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T 2 s 2 Y(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= Заменим H(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)=k 1(t) (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1= Переходя к оригиналу, получим w(t)= k w 0 sin w 0 t 1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) U( w )= V( w )=0 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=argk - arg(1-T 2 w 2 )=0 (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg (10) 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ 4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 1 o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 1 =1,24 b o =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a 1 : (2), где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: py(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для данного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: sY(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=kt 1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= w(t)= 1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) W(j w )= U( w )=0 V( w )= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=argk - argj w j ( w )= - arctg w (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg 7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения. 4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 1 o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 2 =0,0588 a 1 =0,504 b o =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a 1 : T (2), где k= T= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: (Tp 2 +p)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) 2 Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Ts 2 Y(s)+sY(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)= - kT 1(t)+kt 1(t)+kT 1(t)= = (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1= Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)=k 1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) W(j w ) U( w )= V( w )= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=argk - argj w - arg j ( w )= - arctg w - arctgT w (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg 7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения. 4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 1 1 o g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 1 =1,24 b o =4 b 1 =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a 1 : 1 (2), где k 1 = Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: py(t)=(k 1 p+k)g(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: sY(s)=k 1 sG(s)+kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) = Переходя к оригиналу, получим h(t)= 1(t) (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= k 1 d (t)+k 1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)= W(j w )= (7) U( w )=k 1 V( w )= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )=............(8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=............ j ( w )=............ (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lg........ 7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения. 4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a o y(t)=b 1 (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a o =2 b 1 =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a o : y(t)= y(t)=k (2), где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: y(t)=kpg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для идеального звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=ksG(s) W(s)=ks (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е. h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=k d (t) (5) Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции: w(t)=w(s) w(s)=W(s) 1=ks Переходя к оригиналу, получим w(t)=k (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса.

Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j w : W(s)=ks W(j w )=jk w (7) W(j w )=U( w )+jV( w ) U( w )=0 V( w )=k w 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A( w )= ½ W(j w ) ½ A( w )=k ½ w ½ (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j ( w )=argW(j w ) j ( w )=arctgk w (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L( w )=20lg A( w ) L( w )=20lgk ½ w ½ 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения. 4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a 1 a o y(t) =b 1 (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a 1 =1,24 a o =2 b 1 =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a 1 : T (2), где k= T 1 = Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим: (Tp+1)y(t)=kpg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.