Минералогия

Выполнил: студент Вечернего и Заочного обучения Мулюков Фарид Курс 1 Группа 07 ГС Специальность ГС Проверила: Дёмина Тамара Яковлевна Содержание. 1.Закономерности роста кристаллических многогранников……………………………………………………………………….. 3 2 Сложение (сочетание) элементов симметрии.

Теоремы и доказательства……………………………………………………………………….6 3 Порядок осей симметрии.

Элементарный угол поворота…………………………………………………………………………..10 4 Список использованной литературы……………………………………………..13 1.Закономерности роста кристаллических многогранников. Когда кристалл растет, частицы выстраиваются в закономерные и симметричные ряды, сетки, решетки. Грани кристаллических многогранников соответствуют плоскостям, составленным из материальных частиц, ребра кристалла — линиям пересечения этих плоскостей, т. е. рядам материальных частиц.

Центры масс частиц могут образовать плоские сетки и ряды решетки.

Очевидно, любой ряд в структуре соответствует возможному ребру кристалла, а любая плоскость — возможной грани кристалла.

Кристалл растет так, что частицы вещества из окружающей среды отлагаются на его гранях. Грани нарастают параллельно самим себе (рис. 1). Меняются площади граней, их форма, какие-то грани могут вытесняться соседними и зарастать, но взаимный наклон граней остается неизменным. Поэтому углы между гранями тоже остаются постоянными. рис. 1 Схема параллельного нарастания граней кристалла Стрелками изображены нормали к граням В этом заключается количественный закон кристаллографии, открытый Николаем Стеноном (1669) —закон постоянства углов: во всех кристаллах данного вещества при одинаковых условиях углы между соответствующими гранями кристаллов постоянны. В законе под одинаковыми условиями понимаются одинаковые температура и давление. Тем самым подразумевается, что, если у вещества есть несколько полиморфных модификаций, речь здесь идет об одной модификации.

Кристаллы разных веществ отличаются друг от друга внешней формой. У кристаллов одного и того же вещества облик (габитус) может оказаться совсем различным, размеры, формы и даже число граней разные, но углы между соответствующими гранями кристаллов одного вещества всегда постоянны. Закон постоянства углов дает возможность свести все многообразие форм кристаллических многогранников к совокупности углов между гранями изобразить их с помощью проекции. Этот закон сыграл огромную роль в развитии кристаллографии. До открытия дифракции рентгеновских лучей и разработки рентгеноструктурного анализа кристаллические вещества характеризовали и отличали одно от другого только по углам между их гранями.

Основным методом диагностики кристаллических веществ были измерение углов между гранями с помощью угломерного прибора, так называемого гониометра — прикладного или отражательного. Метод гониометрии не утратил своего значения и в настоящее время. рис. 2 К выводу условия Вульфа — Брэгга Грани кристаллического многогранника соответствуют определенным сеткам структуры, поэтому углы между гранями отвечают углам между плоскими сетками в структуре кристалла.

Теперь эти углы измеряют с помощью рентгенограмм, для чего не обязательно иметь большой кристалл с правильной внешней огранкой, а достаточно крупинки кристаллического вещества.

Поскольку длины волны рентгеновского излучения соизмеримы с межатомными расстояниями в кристаллических структурах, кристаллы являются природными дифракционными решетками.

Именно с помощью дифракции рентгеновских лучей было доказано решетчатое строение кристаллов (М. Лауэ, 1912). Схема, поясняющая дифракцию, дана на рис. 2: So — пучок монохроматических рентгеновских лучей, падающих под углом 8 на семейство параллельных атомных плоскостей, S — пучок дифрагированных лучей. Дифрагированные лучи усиливают друг друга, если согласно условию интерференции разность хода Д между ними равна целому числу длин волн, т.е. А = rik (п = 1, 2, 3, ...). Из чертежа видно, что разность хода между падающим и дифрагированным лучами равна Д= РО + OQ = 2РО = 2d sin 0. Чтобы волны, рассеянные двумя соседними плоскими сетками (а значит, и всем семейством параллельных плоских сеток), дали максимум интенсивности, необходимо выполнение основного закона дифракции рентгеновских лучей в кристаллах: 2 dsin 9 = nX (л = 1, 2, 3, ...)• (1.1) Это равенство выражает условие Вульфа — Брэгга *. Иначе говоря, если луч с длиной волны X падает на совокупность параллельных атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d , то он порождает дифрагированный луч, идущий так, как шел бы луч, отраженный под углом 8. Таким образом, при определенных углах падения плоские сетки в структуре кристалла могут «отражать» рентгеновские лучи. Эти отражения (точнее, максимумы интенсивности дифрагированных лучей) можно зарегистрировать на фотографической пластинке с помощью ионизационного спектрометра.

Симметричный, закономерный узор на рентгенограмме, отображает симметрию и закономерность структуры кристалла и дает возможность измерять расстояния между атомными плоскостями и углы между ними, которые на многогранных формах кристаллов являются углами между гранями. По рентгенограммам на основании условия (1.1) можно изучать структуры кристаллов, находить межплоскостные расстояния d , диагностировать кристаллические вещества. 2 Сложение (сочетание) элементов симметрии.

Теоремы и доказательства. В симметричных многогранниках опе рации симметрии сочетаются друг с другом. Не все сочетания элементов симметрии возможны: так, например, ось 4 ( L 4 ) не может быть перпендику лярна оси 3 ( L з) или оси 6 ( L 6 ). Два последовательно выполненных сим метричных преобразования всегда могут быть заменены эквивалентным третьим преобразованием. Все возможные сочетания элемен тов симметрии четко ограничены не сколькими теоремами о сочетании операций (или элементов) симметрии. Ниже приводятся нестрогие доказательства этих теорем или поясняющие их иллюстратив ные примеры.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота во круг этой оси вдвое больше угла меж ду плоскостями.

Доказательство этой теоремы (оче видной каждому, кому доводилось рас сматривать себя в двух поставленных под углом зеркалах) ясно из равенства ААКО и А А КО, а также АА'ОР и АА'ОР на рис. 3.

Доказательство теоремы очевидно из того же рис. 3. Теорема 2. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии. Рис. 4 К теоремам 2, 2а и 26 На первой проекции рис. 4 показа но действие оси 4, перпендикулярной плоскости чертежа, на второй — дейст вие плоскости симметрии, совпадаю щей с плоскостью чертежа.

Очевидно, сочетание этих двух преобразований даст картину, показанную на рис. 4 справа, где для каждой грани имеется парная, связанная с ней центром сим метрии. В международных символах такое сочетание обозначается 4/т, или —, в общем случае n /т, где n — порядок оси. Черта в символе означает, что плоскость перпендикулярна оси.

Теорема 2а (обратная). Если есть четная ось симметрии и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 26 (обратная). Если есть центр симметрии и через него прохо дит плоскость симметрии, то перпен дикулярно этой плоскости через центр проходит четная ось симметрии.

Действие теорем 2а и 26 видно на рис. 4. Теорема 3. Если есть ось симметрии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит ось 2, то всего имеется n осей 2-го порядка, перпенди кулярных оси n -го порядка.

Покажем это на проекции для случая, когда ось 2, лежащая в плоскости чертежа, перпендикулярна оси 3 (рис. 5). Поворот вокруг оси 2 пе реведет фигуру А в положение А', по ворот вокруг оси 3 переведет А в Б я В, А' — в Б' и В'. Но, очевидно, каж дая пара фигур, Б и Б' или В и В', связана между собой также и поворо тами вокруг оси 2, проходящей между ними в плоскости чертежа, т.е. имеется не одна ось 2, а три такие оси. Эту теорему легко понять также и по самому определению оси симмет рии: вокруг оси n любой объект сим метрично повторяется n раз.

Обозначения такого сочетания: n 2 ( L n nL 2 ). Рис. 5 К теореме 3 Теорема 4. Если есть ось симметрии n -го порядка и вдоль нее прохо дит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется п.

Иллюстрацией теоремы служит рис. 6. Плоскость т, проходящая вдоль оси 3, преобразует фигуру А в А'. Поворот вокруг оси 3 преобразует А в Б. и В, А' в Б' и В'. Но каждая па pa , Б и Б' или В и В', связана между собой и отражением в плоскости симметрии, т. е. всего имеется три продольные плоскости т.

Обозначения: пт ( L „ nP ). Рис. 6 К теореме 4 Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения. Рис. 7 иллюстрирует эту теорему для случая, когда две оси 2 лежат в плоскости чертежа, пересекаясь под углом а: поворот вокруг первой оси приводит фигуру А в положение Б, поворачивая ее с лицевой стороны «наизнанку», а поворот вокруг второй оси — в положение В, снова поворачивая фигуру «с изнанки на лицо». Конечный результат оказывается таким же, как и в случае пересечения двух плоскостей , хотя промежуточные операции различны.

Очевидно, фигуру В можно было бы получить также и поворотом фигуры А в плоскости чертежа на угол 2а вокруг оси симметрии, проходящей через точку пересечения заданных осей. К теореме 5 Рис. 7 Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси симметрии, приводит к .появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями. Рис. 8 иллюстрирует эту теорему для случая оси 4. Прежде всего заметим, что инверсионная ось 4 является одновременно простой осью симметрии 2, а по теореме 4, если задана одна плоскость симметрии вдоль оси 2, значит, неизбежно появляется и вторая плоскость симметрии. С помощью оси 4 переводим фигуру из положения А через положение А' в положение Б , а с помощью второй плоскости — из Б в положение В. Можно видеть, что фигура А связана с фигурой В также и поворотом в оси 2-го порядка, проходящей по биссектрисе угла между плоскостями симметрии.

Действительно, это ось 2, а не плоскость т: фигура В повернута белой стороной, а фигура А — черной, т. е. произошел поворот с «лица наизнанку». Таким образом, от добавления продольной плоскости симметрии к оси 4 появились вторая продольная плоскость т и две оси 2. Полное сочетание элементов симметрии записывается как Lj 2 L 2 2 P P , или L 4 2 L 2 2 PC , международный символ 42т.

Аналогично, если добавить плоскость вдоль оси 6, получим сочетание L 6'3 L 2 3 P , или, что то же самое, L 3 3 L 2 4 P (или 6т2). Полное сочетание элементов симметрии кристаллического многогранника называется его классом симметрии, или точечной группой симметрии.

Сложение элементов симметрии, которое выше производилось графически, можно производить и матричным методом.

Сочетание элементов симметрии получается путем перемножения соответствующих матриц. Рис. 8 К теореме 6 3 Порядок осей симметрии.

Элементарный угол поворота. Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол фигура совмещается сама с собой.

Порядок оси симметрии п показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. У куба есть три оси 4-го порядка (4, L 4 ), которые проходят через центры противоположных граней, четыре оси 3-го порядка (3, Ls ), являющиеся пространственными диагоналями куба, и шесть осей 2-го порядка (2, L 2 ), проходящих через середины пар противоположных ребер . Соответственно углы поворота для них 2я/4, 2я/3, 2л/2. Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке в центре куба.

Полный набор элементов симметрии куба (см. на рис 9). Рис 9. Плоскости симметрии куба и их стереографические проекции: а – три координатные плоскости симметрии; б, в – шесть диагональных плоскостей симметрии. Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства)—особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях.

Симметричное преобразование в центре симметрии— это зеркальное отражение в точке : каждая точка фигурки отражается в центре так, что фигурка как бы поворачивается при этом «с лица наизнанку» Отражение в плоскости, поворот вокруг оси симметрии, зеркальное отражение в центре симметрии представляют собой конечные, или точечные, симметричные преобразования. При этих преобразованиях фигура не перемещается как целое и хотя бы одна ее точка остается на месте. В природе и в произведениях искусства можно найти примеры осей симметрии различного порядка; так, у пятиконечной звезды есть ось симметрии 5-го порядка ( L 5 ); у ромашки или подсолнуха ось симметрии м-го порядка ( L n ), где п — число лепестков цветка (полагаем, что все они одинаковы). У кругового конуса есть одна ось симметрии бесконечного порядка oo ( L x >), через нее проходит бесконечное число плоскостей симметрии. У шара имеется бесконечное число осей симметрии бесконечного порядка: каждый диаметр шара является такой осью. В свою очередь через каждый диаметр шара проходит бесконечное число плоскостей симметрии.

Формально можно говорить и об оси симметрии 1-го порядка: любая фигура, даже несимметричная, совместится сама с собой при полном обороте вокруг любой оси, проходящей через эту фигуру.

Невозможность осей 5-го порядка.